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   问题:

二重积分x*cos(x+y),其中D是顶点分别为(0,0),(π,0),(π,π)围成的三角形区域.计算二重积分xcos(x+y)dσ,其中D是顶点分别为(0,0),(π,0)和(π,π)的三角形闭区域.∬xcos(x+y)dxdy=[0,π]∫xdx∫[0,x]cos(x+y)d(x+y)=

问题描述:

二重积分x*cos(x+y),其中D是顶点分别为(0,0),(π,0),(π,π)围成的三角形区域.

计算二重积分xcos(x+y)dσ,其中D是顶点分别为(0,0),(π,0)和(π,π)的三角形闭区域.

∬xcos(x+y)dxdy

=[0,π]∫xdx∫[0,x]cos(x+y)d(x+y)

=[0,π]∫xdx[sin(x+y)]︱[0,x]

①式=[0,π]∫x(sin2x-sinx)dx

=[0,π][∫xsin2xdx-∫xsinxdx]

=[0,π][-(1/2)∫xd(cos2x)+∫xd(cosx)]

②式=[0,π]{-(1/2)[xcos2x-∫cos2xdx]+[xcosx-∫cosxdx]}

=[0,π]{-(1/2)[xcos2x-(1/2)sin2x]+[xcosx-sinx]}

=[0,π]{-(1/2)xcos2x+(1/4)sin2x+xcosx-sinx}

=-(1/2)π-π

=-(3/2)π

其中一式和2式都是怎么来的?

贺红回答:

  ①式是将积分上限x和下限0代入y得到的;

  ②式是对两个积分使用分部积分公式得到的

江明德回答:

  ②式明白了谢谢。①式将积分区域代进去,不应该是[0,π]∫xsin2xdx么

贺红回答:

  在①式的前一步=[0,π]∫xdx[sin(x+y)]︱[0,x],

  对y,代入上限x得到[0,π]∫xsin2xdx,代入下限0得打[0,π]∫xsinxdx,两者相减即为①式